حجم های هندسی فعالیت به اطراف خود)کالس خانه خیابان و ( به دقت نگاه کنید. آیا چیزی پیدا میکنید که حجم نداشته باشد در تصویر مقابل چه نوع حجمهایی را میبینید آیا همه آنها شکل هندسی دارند آیا میتوانید یک طبقهبندی از انواع حجمها ارائه کنید حجم ها را می توان به دو دستۀ هندسی و غیرهندسی تقسیم کرد. حجم های هندسی شکل های مشخص و تعریف شده دارند.حجم های هندسی را می توان به سه دسته تقسیم کرد. منشوری کروی هرمی. برخی از حجم های هندسی نیز ترکیبی از این سه نوع اند. فعالیت در تصویر فعالیت باال حجمهای هندسی را با و غیرهندسی را با * مشخص کنید. در حجمهای هندسی نوع آن را تعیین کنید. در حجم های ترکیبی نیز مشخص کنید که از چه نوع حجم هایی ساخته شده اند. با توجه به شکل های زیر خصوصیت های سه نوع حجم هندسی زیر را بنویسید. حجم های هرمی حجم های منشوری حجم های کروی 70 حجمهای منشوری: حجمهای هرمی: حجمهای کروی:
حجم های منشوری بین دو صفحه موازی قرار می گیرند. به این دو سطح موازی که سطح منشوری را قطع می کنند قاعده و به سطح های اطراف آن وجه های جانبی می گویند. به محل برخورد سطح ها یال و به نقطۀ برخورد هر سه سطح رأس می گویند. کار در کالس در هر یک از منشورهای زیر مشخص کنید چند وجه جانبی دارد یال ها رأس ها و قاعده ها را نام ببرید. تعداد وجه های جانبی: تعداد وجه های جانبی: رأس ها: رأس ها: یال ها : یال ها : قاعده ها: قاعده ها: منشور سه پهلو منشور چهارپهلو تعداد وجه های جانبی: تعداد وجه های جانبی: A رأسها: D رأسها: یالها: یالها : قاعدهها: B C قاعدهها: A C B A C B B C A D F E B C A D F E A B C D A B B E D C C A D E منشور شش پهلو منشور پنج پهلو ٢ برای اینکه در نام بردن یال و رأس چیزی جا نیفتد از چه راهبردی استفاده میکنید ٣ آیا استوانه هم یک حجم منشوری است چرا فعالیت با خمیر مجسمهسازی )یا میتوانید از یک سیبزمینی استفاده کنید( یک استوانه بسازید. با یک قیچی یا چاقو مانند شکلهای مقابل آن را برش بزنید. سطح برش خورده را رنگ کنید و روی یک کاغذ بزنید اثر آن به چه شکلی است همین فعالیت را میتوانید با برشهای دیگر تکرار کنید. همچنین بهجای استوانه میتوانید منشورهای دیگری را هم امتحان کنید. به این کار مقطع زدن میگویند. نرمافزارهای زیادی هستند که میتوانند این فعالیت را شبیهسازی کنند. در صورت تمایل از آنها استفاده کنید. 7
تمرین آیا ممکن است مقطع یک کره و یک استوانه هم شکل باشند در چه صورت آیا ممکن است مقطع یک منشور و یک هرم همشکل باشند یک استوانه از دید باال به چه شکلی دیده میشود یک منشور 6 پهلو به چه شکلی دیده میشود رأسهای منشوری با قاعده ٦ ضلعی منتظم روی دایره قاعده استوانه است.این حجم از باال به چه شکلی دیده میشود مشخص کنید هر کدام از حجمهای زیر ترکیبی از کدام حجمها هستند 4 حجم مقابل را از 4 جهت نگاه می کنیم این حجم از 4 طرف به چه شکلی دیده می شود باال راست روبرو باال راست روبرو پایین قاعده منشورهای زیر را رسم کنید )در واقع دید از باال یا همان مقطع منشور است(. پایین 6 بلورها کریستال های معدنی به طور طبیعی شکل می گیرند ولی دارای حجم هندسی اند. برای نمونه مشخص کنید بلور زیر از چه حجم هایی درست شده اند 7
محاسبۀ حجم های منشوری فعالیت در دوره دبستان آموختید که حجم یک مکعب مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول عرض و ارتفاع. با توجه به درس جبر که در فصل قبل آموختید حجم مکعب مستطیل را با یک رابطه جبری نشان دهید. =V حجم b a c قاعده مکعب مستطیل از 8 مربع به ضلع یک سانتیمتر درست شده است. )٤ ٢( اگر روی این قاعده مکعب مستطیلی به ارتفاع سانتیمتر درست کنیم حجم آن چقدر میشود اگر قاعده مکعب مستطیل 4 باشد با همان ارتفاع چه حجمی درست میشود همچنین آموختید که واحد حجم مکعبی به ضلع سانتی متر یا متر یک سانتی متر مکعب یا یک مترمکعب می گویند. مشخص کنید که هر کدام از حجم های زیر از چند مکعب واحد درست شده اند. 4 اکنون هر کدام از شکل های زیر را به مربع هایی به ضلع سانتی متر تقسیم کنید تا مشخص شود قاعده هر کدام چند مربع به ضلع یک سانتی متر است )می توانید از عددهای کسری هم استفاده کنید(. اگر روی این قاعدهها منشوری به ارتفاع سانتیمتر درست کنیم حجم هر کدام چقدر میشود اگر به همین ترتیب بتوانیم مساحت قاعده هر منشور را با مربعهای واحد سطح تقریب بزنیم چگونه میتوانیم حجم شکلهای منشوری را بهدست آوریم برای مثال قاعده یک استوانه را که به شکل دایره است با مربعهای واحد تقریب بزنید و حجم استوانه به ارتفاع سانتیمتر را بهطور تقریبی بهدست آورید. 7
کار در کالس باتوجه به فعالیت صفحه قبل رابطه جبری به دست آوردن حجم های منشوری )V( را که درآن مساحت قاعده منشور )S( و ارتفاع منشور) h( موجود است بنویسید. با توجه به رابطه باال و مساحت قاعده داده شده حجم هر شکل را محاسبه کنید. س س م 4 س س 4/ س م 4 س V= s.h = = س م / س م س 4/ س م / س س م س 6/ س م س / س م / ابتدا مساحت قاعده و سپس حجم هر یک از اجسام زیر را حساب کنید. برای به دست آوردن مساحت و حجم هر شکل رابطه های جبری را بنویسید. 6/ س 4/6 س م س س س م 7/ س م 7 س س 6 س س س 4 س س س 8 س 6 س س س 0 س 4 منبع آبی به شکل استوانه است که شعاع قاعده آن 0/8 متر و ارتفاعش متر است.این منبع چند متر مکعب آب می گیرد 74
یک جعبه دستمال کاغذی به شکل مکعب مستطیل داریم که طول آن عرض آن و ارتفاعش سانتی متر است. تعیین کنید چند عدد از این جعبه ها در یک کارتن که به شکل مکعب مستطیل به ابعاد 0 و 0 و 4 سانتی متر است جا می گیرد 60 00 60 تمرین حجم ستون شکل مقابل را بهصورت تقریبی پیدا کنید. )کل شکل را مکعب مستطیل و یا استوانه درنظر بگیرید.( حاال کمی دقیقتر محاسبه کنید و آن را به سه قسمت تقسیم کنید و حجم سه تکه را جداگانه حساب کنید و مجموع را بهدست آورید )شعاع قاعده استوانه چند است (. تفاوت دو جواب را بهدست آورید. حجم اشکال زیر را به دست آورید. 0 / 6 / / / / 8 0 4/ چاهی به عمق متر حفر کردهایم. شعاع دهانه این چاه 0/4 متر است. وقتی خاک کنده و بیرون ریخته میشود حجم آن ٣/ برابر میشود. اگر خاک این چاه بعد از بیرون آمدن در سطحی به ابعاد 4 و متر بهطور یکنواخت ریخته شود تا یک مکعب مستطیل به وجود آید ارتفاع این مکعب مستطیل چقدر خواهد شد 4 حوضی است به شکل مکعب مستطیل که ابعاد آن 4 و و / متر است. این حوض خالی را با شیر آبی که در هر دقیقه 60 لیتر آب وارد آن میکند پر میکنیم. چند ساعت طول میکشد تا حوض پر شود یک پارچ به شکل استوانه است که ارتفاع آن 0 سانتیمتر و شعاع قاعده آن ٨ سانتیمتر است. آب داخل این پارچ را در لیوانهایی به شکل استوانه که ارتفاع آنها 0 سانتیمتر و شعاع قاعده آن ٤ سانتیمتر است میریزیم. این آب چند لیوان را پ ر میکند 6 قاعده یک منشور سه پهلو مثلث قائمالزاویهای که اندازه ضلعهای قائمه آن و 4 است. ارتفاع این منشور 6 سانتیمتر است. حجم این منشور را پیدا کنید. 7 8
مساحت جانبی و کل فعالیتکار در کالس مساحت همه وجههای جانبی منشورهای زیر را بهدست آورید. هر وجه چه شکلی دارد به مجموع این مساحتها مساحت جانبی شکل میگویند. برای به دست آوردن مجموع مساحت جانبی منشور سه پهلوی باال به صورت زیر آن را روی کاغذ قرار می دهیم و به انداز ه طول هر ضلع یک عالمت می گذاریم. 4 7 6 7 7 7 4 4 با توجه به شکلهای باال چگونه میتوانستیم سادهتر مساحت جانبی را بهدست آوریم باتوجه به ٢ سؤال باال اگر مساحت را با S محیط را با P و ارتفاع را با h نشان دهیم. رابطه جبری مساحت جانبی منشورهای باال را بنویسید. مساحت جانبی شکلهای زیر را پیدا کنید. a b a a 4 c b a 76 ستونی به شکل منشور 6 پهلوست که هر ضلع آن 0/ متر و ارتفاع آن متر است. می خواهند بدنه جانبی این ستون را کاشی کاری کنند. چند متر مربع کاشی الزم است
r یک استوانه را به شکل زیر روی یک صفحه میغلتانیم و ابتدا و انتهای کار را مشخص میکنیم. با این کار چه شکلی بهدست میآید طول و عرض آن چگونه بهدست میآید مساحت این شکل چگونه بهدست میآید با توجه به سؤال باال مساحت جانبی یک استوانه به ارتفاع h و شعاع قاعده r را با عبارت جبری نشان دهید. S = با توجه به سؤال باال با یک مستطیل میتوان یک سطح استوانهای درست کرد. h فعالیتکار در کالس این سطح استوانه را روی کاغذ بگذارید و دور آن خط بکشید. این دایره قاعده استوانه است. چون استوانه قاعده دارد. دایره و یک مستطیل مساحت کل استوانه را تشکیل میدهند. شکل مقابل را گسترده استوانه میگویند. چه رابطهای بین دایره و مستطیل در این گسترده وجود دارد گسترده یک منشور 6 پهلو با قاعده 6 ضلعی منتظم و گسترده یک مکعب مستطیل با قاعده مربع در شکل های زیر رسم شده اند. چه رابطه ای بین قاعده ها و مستطیل ها وجود دارد 77
تمرین در شکل زیر گستردۀ چند منشور داده شده است. آنها را روی کاغذ بکشید و منشورها را درست کنید و به کالس بیاورید. در چه صورت گسترده شکل وسط به یک مکعب تبدیل میشود یک غلتک روی زمین آسفالت شده باید 4 بار غلت بزند تا سطح آن صاف شود. اگر شعاع غلتک 0 سانتیمتر و ارتفاع استوانه آن متر باشد برای آسفالت کردن سطح یک کوچه به طول ٢٠ و عرض ٤ متر این غلتک باید بهطور تقریبی چند بار بچرخد 78 یک چرخ ماشین که کامال خیس شده است با 0 دور چرخیدن روی زمین جای خود را مشخص میکند تا خشک شود. اگر این چرخ به ضخامت 0 سانتیمتر و قطر 70 سانتیمتر باشد چه مساحتی از زمین را خیس خواهد کرد 4 یک چادر مسافرتی به شکل مقابل است.چند متر پارچه برای ساخت آن بهکار رفته است حجم این چادر چقدر است متر /7 4 متر متر یک مخزن نفت به شکل استوانه ای است که شعاع قاعده آن متر و ارتفاعش متر است. می خواهیم بدنه خارجی و سقف آن را رنگ بزنیم. اگر هزینه رنگ کردن هر متر مربع 0000 تومان باشد برای رنگ کردن این مخزن چقدر باید هزینه کرد 6 میخواهیم با مقوا مکعبی به ضلع 0 cm بسازیم. چند سانتیمتر مربع مقوا بهکار میرود 7 یک جعبه به شکل مکعب مستطیل به ابعاد 0 و 0 و 40 سانتیمتر را با کاغذ کادو پوشاندهایم. برای پوشاندن این جعبه حداقل چند سانتیمترمربع کاغذ کادو الزم داریم چرا در این مسئله حداقل کاغذ الزم خواسته شده است 8 با مکعبهای به ضلع واحد حجم مقابل را ساختهایم. اگر تمام سطحهای این حجم را رنگ کنیم چند مکعب رنگ نمیشوند چند مکعب رنگ میشود چند مکعب وجهشان رنگ میشود چند مکعب وجهشان رنگ شده است
حجم و سطح فعالیتکار در کالس یک مستطیل به طول و عرض داده شده را به دو صورت زیر لوله می کنیم تا استوانه به دست آید. 60 40 در هر حالت حجم استوانه را بهدست آورید. مانند نمونه از رابطههای جبری کمک بگیرید. برای سادهتر شدن محاسبهها عدد پی )π( را در نظر بگیرید. در هر حالت ابتدا شعاع قاعده و ارتفاع استوانه را تشخیص دهید. V ١ =h * S =h *r *r *π= V ٢ = h * S = با مقایسه حجمها و با توجه به اینکه هر دو حجم با یک مستطیل ساخته شده است چه نتیجهای میگیرید یک کارخانه تولید چای دو نوع بستهبندی به شکلهای زیر ارائه میکند. هر دو نوع قوطی با ورق گالوانیزه درست شدهاند. در کدام یک چای بیشتری جا میگیرد 0 0 0 0 در کدام یک ورق گالوانیزه بیشتری برای ساخت قوطی بهکار رفته است در محاسبات خود عدد π را در نظر بگیرید. باتوجه به عددهای باال اگر شما مدیر کارخانه باشید کدام نوع بستهبندی را انتخاب میکنید چرا کدام نوع بستهبندی در حمل و نقل بهتر است و جای کمتری میگیرد چرا برای بستهبندی شیرینی جعبههایی را درست میکنند. شکل گسترده این جعبهها بهصورت زیر است و پس از تا کردن مربعهای کوچک گوشهها روی هم قرار میگیرند و جعبه درست میشود. 0 0 با توجه به اندازه های داده شده حجم )گنجایش( جعبه را پیدا کنید. اگر به جای سانتی متر لبه ها را 6 سانتی متر درنظر بگیریم جعبه ای که با همین مقوا ساخته می شود حجم بیشتری دارد یا کمتر 79
فعالیتکار در کالس مستطیل ABCD را حول محوری که از AD میگذرد دوران میدهیم. شکل زیر نشان میدهد که مستطیلها چگونه حرکت میکنند. B A C D شما هم مانند شکل مقابل کاغذی را روی مدادی بچسبانید و آنرا بچرخانید و حرکت مستطیل را تماشا کنید. با چرخاندن این مستطیل چه حجمی بهوجود میآید مشخصات آن حجم را بنویسید. با حرکت یک سطح در فضا حجم ساخته میشود. همین کار را برای شکلهای دیگر نیز میتوان انجام داد تا حجمهای دیگری ساخته شوند. در سالهای بعد در این مورد بیشتر توضیح داده خواهد شد. سطحی مثل شکل مقابل را حول محور d دوران میدهیم. حجم چه شکلی ساخته میشود میتوانید با یک فرفره و چرخاندن آن حجم ایجاد شده را ببینید. از این خاصیت در خر اطی تراشکاری و سفالگری برای ساختن حجمهای مختلف استفاده میکنند. d یک مستطیل را یک بارحول محور AD و یک بار حول محور AB دوران دهید. حجم حاصل از این دوران را حساب کنید. B A B A 4 4 C D C D 80
تمرین یک مقوا به طول و عرض 0 را به شکل استوانه به ارتفاع در آورده ایم. یک مقوای دیگر را نیز به ابعاد 0 0 را به شکل یک استوانه در آورده ایم. با توجه به اینکه مساحت مقواها در دو حالت برابر است کدام استوانه حجم بیشتری دارد با شکل مقابل یک منشور درست کرده ایم. مساحت جانبی آن را پیدا کنید. 0 یک صابون مکعب مستطیل شکل به حجم سانتی متر مکعب پس از چند بار مصرف کوچک شده و به ابعاد سانتی متر تبدیل شده است. چند درصد این صابون استفاده شده است و 4 و 4 یک استوانه که با یک مقوا به طول 0 سانتی متر و عرض 0 سانتی متر ساخته شده به طور تقریبی چه حجمی دارد )ارتفاع استوانه 0 است.( اگر یک حجم از باال و سمت راست و روبهرو بهصورت زیر دیده شود آن حجم را رسم کنید. باال راست روبهرو 0 6 شکل مقابل گسترده یک منشور را نشان می دهد. مساحت جانبی منشور را پیدا کنید. 7 با توجه به حجم منشور و ابعاد آن اندازه ضلع های گسترده آن را بنویسید. 7 4 8 حجم مقابل از راست باال و روبه رو چگونه دیده می شود باال راست روبه رو 8
???? مرور فصل 6 مفاهیم و مهارتها در این فصل واژههای زیر بهکار رفتهاند. مطمئن شوید که میتوانید با جمالت خود آنها را تعریف کنید.برای هر کدام مثال بزنید. گسترده مساحت کل مساحت جانبی حجم منشوری حجم هندسی در این فصل روشهای اصلی زیر مطرح شدهاند.با یک مثال هر کدام را توضیح دهید و در دفتر خود یک خالصه تهیه کنید. حجم مخروطی و حجم منشوری انواع حجمهای هندسی مقطع زدن یک حجم منشوری قاعده وجه یال و رأس حجمهای منشوری رابطه پیدا کردن مساحت جانبی حجمهای هندسی رابطه پیدا کردن حجمهای منشوری ساختن یک حجم به کمک گسترده آن رابطه پیدا کردن مساحت کل حجمهای منشوری دوران سطح حول یک محور و ساختن حجم مقایسه حجمهایی که به یک سطح مشخص درست شدهاند. کاربرد کاربرد این فصل در زندگی روزمره فراوان است. در دنیایی از اجسام زندگی میکنیم و نیاز داریم حجمهای مختلف را اندازه بگیریم و برای ساختن حجمها نیز از سطحها )کاغذ مقوا ورق و ( استفاده میکنیم. تمرینهای ترکیبی در صورتیکه تمرینهای ترکیبی زیر را توانستید انجام دهید مطمئن میشوید که این فصل را بهخوبی آموختهاید. حجم مساحت جانبی و مساحت کل شکلهای زیر را بهدست آورید. استوانه به شعاع قاعده و ارتفاع منشور چهار پهلو با قاعده مربع به ضلع و ارتفاع 0 الف( با توجه به شکل مکعب مستطیل اندازه ضلعهای خواسته شده روی گسترده آن را مشخص کنید.? c b a 0 0 60 8 ب( حجم شکل مقابل را به دست آورید.
فصل ٧ توان و جذر 8 وقتی یک سلول به سلولهای دیگر تبدیل میشود و این عمل تکرار میگردد در مدت کوتاهی تعداد سلولها به سرعت افزایش پیدا میکنند. رشد تعداد سلولها به صورت توانی است. شاید به همین علت است که جراحت پوست در مدت کوتاهی ترمیم میشود و سلولهای جدید جایگزین سلولهای مرده میشوند. تعریف توان محاسبۀ عبارتهای تواندار ساده کردن عبارتهای تواندار جذر و ریشه